代表的なアミノ酸(α-アミノ酸)について、その化学種の濃度がpHによってどのように変化するか調べます。

水溶液中のアミノ酸は、pHが低いときはアミノ基とカルボキシ基の両方(および側鎖の基)がすべてプロトン化され陽イオンの形をとります。pHが上がるにつれてプロトンが外れて、途中中性の形(双生イオン)を経て、pHが高くなるとプロトンがすべて外れて陰イオンとなります。このような化学種の変化とpHの関係を求めます。

＜活量係数を考慮しない場合＞
側鎖が酸塩基性を示さないもの
アミノ基とカルボキシ基のすべてがプロトン化した化学種をH₂A⁺とすると、酸塩基平衡の反応式は、
H₂A⁺　⇄　HA　⇄　A^－
例えば、グリシンでいうと、
CH₂(NH₃⁺)COOH ⇄ CH₂(NH₃⁺)COO^－ ⇄ CH₂(NH₂)COO^{－
となります。}

このとき酸塩基平衡の関係式は、
K₁ = [H][HA]/[H₂A]
K₂ = [H][A]/[HA]
C_a = [A]＋[HA]＋[H₂A]
f₀ = [A]/C_a
f₁ = [HA]/C_a
f₂ = [H₂A]/C_a
となります。ここで、K₁, K₂は酸解離定数、C_aはアミノ酸の全濃度(mol/L)、f_nは化学種の存在分率(nはプロトンの数)を表します。

α= 1+[H]/K₂＋[H]^{^2}/(K₂K₁)とすると、
f₀ = [A]/C_a = 1/α
f₁ = [HA]/C_a = ([H][A]/K₂)/C_a = f₀[H]/K₂
f₂ = [H₂A]/C_a= ([H][HA]/K₁)/C_a = f₁[H]/K₁ 
なので、K₁, K₂が既知ならば、[H]を与えるとf_nが計算できます(C_aは無関係)。

例として、アラニン[Ala：CH₃-CH(NH₂)-COOH] (pK₁=2.34, pK₂=9.87)について、エクセルを用いてpHに対するf_nの値を求めました。計算結果の例および分布図を図-１に示し、計算式を図-２に示します。

図-１

図-２

側鎖が酸塩基性を示すもの
側鎖が酸性基(-COOH, -SH, -OH)を持つ場合、全プロトン化した化学種はH₃A⁺で表され、側鎖が塩基性基(-NH₂, >NH)を持つ場合は全プロトン化した化学種はH₃A²⁺で表されます。
酸塩基平衡の反応式は
H₃A⁺　⇄　H₂A　⇄　HA^-⇄　A^2-
H₃A²⁺　⇄　H₂A⁺　⇄　HA⇄　A^-
となります。

電荷を無視すると、関係式は、
K₁ = [H][H₂A]/[H₃A]
K₂ = [H][HA]/[H₂A]
K₃ = [H][A]/[HA]
C_a = [A]＋[HA]＋[H₂A]＋[H₃A]
α= 1+[H]/K₃＋[H]^{^2}/(K₃K₂)＋[H]^{^3}/(K₃K₂K₁)
f₀ = [A]/C_a = 1/α
f₁ = [HA]/C_a = f₀[H]/K₃
f₂ = [H₂A]/C_a = f₁[H]/K₂
f₃ = [H₃A]/C_a = f₂[H]/K₁
となります。

・アスパラギン酸[Asp：HOOC-CH₂-CH(NH₂)-COOH] (pK₁=1.99, pK₂=3.90, pK₃=10.00)
・システイン[Cys：HS-CH₂-CH(NH₂)-COOH] (pK₁=1.7, pK₂=8.36, pK₃=10.74)
・リジン[Lys：H₂N-(CH₂)₄-CH(NH₂)-COOH] (pK₁=1.77, pK₂=9.07, pK₃=10.82)
・ヒスチジン[His：(下式)] (pK₁=1.6, pK₂=5.97, pK₃=9.28)
                           
について、エクセルを用いてpHに対するf_nの値を求めました。分布図を図-３に示します。(紫：2価の陽イオン、赤：1価の陽イオン、黄：双生イオン(中性)、緑：１価の陰イオン、青：2価の陰イオン)

図-３

＜活量係数を考慮した場合＞
活量係数を考慮すると、化学種の存在分布はアミノ酸の全濃度C_aの値に影響されます。

たとえば、C_g=0.1 mol/Lのグリシン[Gly：H-CH(NH₂)-COOH]にHClまたはNaOHを加えてpHを調整した溶液(HCl, NaOHの濃度はそれぞれC_cl, C_na)について考えます。エクセルを用いてpHºに対するf_nの値を求めます。pKº₁=2.35, pKº₂=9.78, pKº_w=14.00とします。
Kºは熱力学的平衡定数、pHºは活量基準のpHを表します。活量係数による補正には拡張デバイヒュッケル式を用います。化学種iの拡張デバイヒュッケル式は次の通りです。
logγ_i= －0.51(z_i^{^2})√µ/(1+(a_i/305)√µ)
ここで、γ_iは活量係数、μはイオン強度、z_iは電荷、a_iは水和イオン直径(pm)を表します。

・平衡定数：
K₁ = K₁º/(γ_Hγ_H2PO4/γ_H3PO4)
K₂ = K₂º/(γ_Hγ_HPO4/γ_H2PO4)
K_w = K_wº/(γ_Hγ_OH)
・活量係数：
logγ_H= －0.51√µ/(1+2.95√µ)
logγ_OH= －0.51√µ/(1+1.15√µ)
logγ_H2Gly= －0.51√µ/(1+1.48√µ)
logγ_HGly= 0
logγ_Gly= －0.51×√µ/(1+1.31√µ)
µ = ([H]＋[OH]＋[Gly]＋[H₂Gly]＋[Cl]＋[Na])/2
・物質収支：
C_g = [Gly]＋[HGly]＋[H₂Gly]
・電荷収支：
Q = [H]－[OH]－[Gly]＋[H₂Gly]－[Cl]＋[Na] = 0
・化学種濃度：
[H]º = [H]γ_H
pH = pHº＋logγ_H
[H] = 10^{^－pH}
[OH] = [H]/K_w
[Gly] = C_g(1＋[H]/K₂＋[H]^{^2}/(K₂K₁))
[HGly] = [H][Gly]/K₂
[H₂Gly] = [H][HGly]/K₁
[Cl] = C_cl
[Na] = C_na
・グリシン化学種の存在分率
f₀ = [Gly]/C_g
f₁ = [HGly]/C_g
f₂ = [H₂Gly]/C_g

これらの関係式から、ソルバーを用いて
・目的セル：Q=0
・変数セル：[Cl]または[Na], μ_o
・制約条件：μ_o－μ＝0
としてソルバーを実行し、f_nを求めると、計算結果の例を図-４に示します。分布図を図-５に示します(参考として活量係数を考慮しない場合も示しました)。

図-４

図-５