前回(2023-12-17)に引き続き、アミノ酸の滴定曲線の作成方法について考えます。　今回はレビ法(2023-12-10)を用いて滴定曲線を描きます。　　　

<<モノアミノ-モノカルボン酸･塩酸塩（例：アラニン･塩酸塩）>>
モノアミノ-モノカルボン酸の一種であるアラニンは次のように解離します。　　　

C_ao mol/Lのモノアミノ-モノカルボン酸･塩酸塩(HA･HCl), V mLをC_bo mol/LのNaOHで滴定することを考えます(滴下量：T mL)。酸解離定数をK₁, K₂, 水のイオン積をK_wとします(活量補正なし)。関係式は次の通りです。
H₂A⁺ ⇆ H⁺ + HA⁰
HA⁰ ⇆ H⁺ + A^-
<平衡定数>
K₁ = [H][HA⁰]/[H₂A⁺]
K₂ = [H][A^-]/[HA⁰]
<物質バランスと化学種濃度>
C_a = [A^-]＋[HA⁰]＋[H₂A⁺]
α = 1+[H]/K₂+[H]^{^2}/(K₂K₁)
f₀ = [A^-]/C_a = 1/α
f₁ = [HA⁰]/C_a = [H]f₀/K₂
f₂ = [H₂A⁺]/C_a = [H]f₁/K₁
[H] = 10^{^-pH}
[OH] = K_w/[[H]
[Na] = C_b = C_boT/(V+T)
[A^-] = C_af₀ = C_aof₀V/(V+T)
[HA⁰] = C_af₁ = C_aof₁V/(V+T)
[H₂A⁺] = C_af₂ = C_aof₂V/(V+T)
[Cl] = C_a = C_aoV/(V+T)
<電荷バランス>
[H]＋[Na]＋[H₂A⁺] = [OH]＋[A^-]＋[Cl]　　　

以上の関係から、モノアミノ-モノカルボン酸･塩酸塩の滴定曲線の式は、Δ= [H]－[OH]として、
T = V(C_ao(f₀－f₂＋1)－Δ)/(C_bo＋Δ)　…①
となります^{(*1), (*2)}。
(*1) ①式の誘導：
C_a = C_aoV/(V＋T) = [A^-]＋[HA]＋[H₂A⁺] = [Cl]
C_b = C_boT/(V＋T) = [Na]
f₂ = [H₂A⁺]/C_a,　f₀ = [A^-]/C_a
これらの関係を電荷バランス式に代入して、
[H]＋[Na]＋[H₂A⁺] = [OH]＋[A^-]＋[Cl]
[H]＋C_b＋C_af₂ = [OH]＋C_af₀＋C_a
[H]＋C_boT/(V＋T)＋C_aof₂V/(V＋T) = [OH]＋C_aof₀V/(V＋T)＋C_aoV/(V＋T)
[H](V＋T)＋C_boT = [OH](V＋T)＋C_aoVf₀－C_aoVf₂＋C_aoV
([H]－[OH])T＋C_boT = ([OH]－[H])V＋C_aoV(f₀－f₂＋1)
Δ= [H]－[OH]とすると、
T = V(C_ao(f₀－f₂＋1)－Δ)/(C_bo＋Δ)　…①　　　

(*2)ジプロトン酸の滴定曲線の式は、
T = V(C_ao(2f₀＋f₁)－Δ)/(C_bo＋Δ)　…②
で示される(2023-12-10)。
f₀＋f₁＋f₂=1なので、f₀－f₂＋１=2f₀＋f₁
つまり①式と②式は等しい。したがってモノアミノ-モノカルボン酸･塩酸塩の滴定曲線はジプロトン酸の滴定曲線の式を用いて描くこともできる。　　　

0.01 mol/Lのアラニン･塩酸塩10 mLを0.01 mol/LのNaOHで滴定したときのエクセルによる計算結果と滴定曲線を図-１に示します(pK₁=2.34, pK₂=9.87)。　　　

図-１

<<モノアミノ-ジカルボン酸･塩酸塩（例：グルタミン酸･塩酸塩）>>
モノアミノ-ジノカルボン酸の一種であるグルタミン酸は次のように解離します。　　　

C_ao mol/Lのモノアミノ-ジカルボン酸･塩酸塩(H₂A･HCl), V mLをC_bo mol/LのNaOHで滴定することを考えます(滴下量：T mL)。酸解離定数をK₁, K₂, K₃,　水のイオン積をK_wとします(活量補正なし)。関係式は次の通りです。
H₃A⁺ ⇆ H⁺ + H₂A⁰
H₂A⁰ ⇆ H⁺ + HA^-
HA^- ⇆ H⁺ + A^2-
<平衡定数>
K₁ = [H][H₂A⁰]/[H₃A⁺]
K₂ = [H][HA^-]/[H₂A⁰]
K₃ = [H][A^2-]/[HA^-]
<物質バランスと化学種濃度>
C_a = [A^2-]＋[HA^-]＋[H₂A⁰]＋[H₃A⁺]
α = 1+[H]/K₃+[H]^{^2}/(K₃K₂)+[H]^{^3}/(K₃K₂K₁)
f₀ = [A^2-]/ C_a = 1/α
f₁ = [HA^-]/C_a = [H]f₀/K₃
f₂ = [H₂A⁰]/C_a = [H]f₁/K₂
f₃ = [H₃A⁺]/C_a = [H]f₂/K₁
[H] = 10^{^-pH}
[OH] = K_w/[[H]
[Na] = C_b = C_boT/(V+T)
[A^2-] = C_af₀ = C_aof₀V/(V+T)
[HA^-] = C_af₁ = C_aof₁V/(V+T)
[H₂A⁰] = C_af₂ = C_aof₂V/(V+T)
[H₃A⁺] = C_af₃ = C_aof₃V/(V+T)
[Cl] = C_a = C_aoV(V+T)
<電荷バランス>
[H]＋[Na]＋[H₃A⁺] = [OH]＋2[A^2-]＋[HA^-]＋[Cl]　　　

モノアミノ-ジカルボン酸･塩酸塩の場合、滴定曲線の式は、Δ= [H]－[OH]として、
T = V(C_ao(2f₀＋f₁－f₃＋1)－Δ)/(C_bo＋Δ) ^(*3)　…③
(*3) ③式は①式の誘導と同様、物質バランスと電荷バランスから誘導できる。
また、トリプロトン酸の滴定曲線の式は、
T = V(C_ao(3f₀＋2f₁＋f₂)－Δ)/(C_bo＋Δ)　…④
で示される(2023-12-10)。
f₀＋f₁＋f₂＋f₃=1なので、2f₀＋f₁－f₃＋1=3f₀＋2f₁＋f₂
つまり③式と④式は等しい。したがってモノアミノ-ジノカルボン酸･塩酸塩の滴定曲線はトリプロトン酸の滴定曲線の式を用いて描くこともできる。　　　

0.01 mol/Lのグルタミン酸･塩酸塩10 mLを0.01 mol/LのNaOHで滴定したときのエクセルによる計算結果と滴定曲線を図-２に示します(pK₁=2.16, pK₂=4.30, pK₃=9.96)。　　　

図-２

<<ジアミノ-モノカルボン酸･２塩酸塩（例：ヒスチジン･2塩酸塩）>>
ジアミノ-モノカルボン酸の一種であるヒスチジンは次のように解離します。　　　

C_ao mol/Lのジアミノ-モノカルボン酸･２塩酸塩(HA･2HCl), V mLをC_bo mol/LのNaOHで滴定することを考えます(滴下量：T mL)。酸解離定数をK₁, K₂, K₃,　水のイオン積をK_wとします(活量補正なし)。関係式は次の通りです。
H₃A²⁺ ⇆ H⁺ + H₂A⁺
H₂A⁺ ⇆ H⁺ + HA⁰
HA⁰ ⇆ H⁺ + A^-
<平衡定数>
K₁ = [H][H₂A⁺]/[H₃A²⁺]
K₂ = [H][HA⁰]/[H₂A⁺]
K₃ = [H][A^-]/[HA]
<物質バランスと化学種濃度>
C_a = [A^-]＋[HA⁰]＋[H₂A⁺]＋[H₃A²⁺]
α = 1+[H]/K₃+[H]^{^2}/(K₃K₂)+[H]^{^3}/(K₃K₂K₁)
f₀ = [A^2-]/C_a = 1/α
f₁ = [HA^-]/C_a = [H]f₀/K₃
f₂ = [H₂A⁰]/C_a = [H]f₁/K₂
f₃ = [H₃A⁺]/C_a = [H]f₂/K₁
[H] = 10^{^-pH}
[OH] = K_w/[[H]
[Na] = C_b = C_boT/(V+T)
[A^-] = C_af₃ = C_aof₃V/(V+T)
[HA⁰] = C_af₂ = C_aof₂V/(V+T)
[H₂A⁺] = C_af₁ = C_aof₁V/(V+T)
[H₃A²⁺] = C_af₀ = C_aof₀V/(V+T)
[Cl] = 2C_a = 2C_aoV/(V+T)　…(HA･2HClなので係数2が付く)
<電荷バランス>
[H]＋[Na]＋[H₂A⁺]＋2[H₃A²⁺] = [OH]＋[A^-]＋[Cl]　　　

ジアミノ-モノカルボン酸･２塩酸塩の場合、滴定曲線の式は、Δ= [H⁺]－[OH^-]として、
T = V(C_ao(f₀－f₂－2f₃＋2)－Δ)/(C_bo＋Δ) ^(*4)　…⑤
(*4)  ⑤式は①式の誘導と同様、物質バランスと電荷バランスから誘導できる。
また、トリプロトン酸の滴定曲線の式は、
T = V(C_ao(3f₀＋2f₁＋f₂)－Δ)/(C_bo＋Δ)　…④
で示される(2023-12-10)。
f₀＋f₁＋f₂＋f₃=1なので、f₀－f₂－2f₃＋2=3f₀＋2f₁＋f₂
つまり⑤式と④式は等しい。したがってジアミノ-モノカルボン酸･２塩酸塩の滴定曲線はトリプロトン酸の滴定曲線の式を用いて描くこともできる。　　　

0.01 mol/Lのヒスチジン･2塩酸塩10 mLを0.01 mol/LのNaOHで滴定したときのエクセルによる計算結果と滴定曲線を図-３に示します(pK₁=1.6, pK₂=5.97, pK₃=9.28)。　　　

図-３

以上述べたように、モノアミノ-モノカルボン酸･塩酸塩(H₂A⁺･Cl^-)の滴定曲線はジプロトン酸(H₂A)の滴定曲線の式を用いて表すことができ、またモノアミノ-ジノカルボン酸塩酸塩(H₃A⁺･Cl^-)やジアミノ-モノカルボン酸･２塩酸塩(H₃A²⁺･2Cl^-)の滴定曲線はトリプロトン酸(H₃A)の滴定曲線の式を用いて表すことができます。これは、プロトン(H⁺)の授受によるプロトン条件をもとに式を考えれば、同一の式となることは明らかです。